Question

9．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6$\sqrt{2}$，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（　　）

• A． 12π
• B． 8π
• C． 6π
• D． 4π

Answer 1

分析 如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动轨迹是$\widehat{PP′}$，求出圆心角∠POP′即可解决问题．

解答 解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动轨迹是$\widehat{PP′}$
，
当AD⊥BD时，∵AB=2AD，
∴∠ABD=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠OBP=15°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=15°
∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°，
当AE′⊥CE′时，同理可得∠BOP′=30°，
∴∠POP′=120°，
∵AC=AB=6$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=12，
∴OP=6，
∴$\widehat{PP′}$=$\frac{120•π•6}{180}$=4π，
故选D．

点评 本题考查等腰三角形的性质、旋转变换、圆，弧长公式等知识，解题的关键是正确得出点P的运动轨迹，题目有点难度，属于中考选择题中的压轴题．