Question

【题目】已知，中，，点是上一点，连接．

（1）如图1，当平分时，于，的周长为，求的长．

（2）如图2，延长至，使，将线段绕点顺时针旋转90°得线段，连接，过点作，交的延长线于点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）10m；（2）见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=45°，根据角平分线的性质得到CE=EH=BH，根据全等三角形的性质得到AH=AC，于是得到结论；
（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF=BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF=BG，进而得到BG=BE．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，
∴CE=EH=BH，
在Rt△ACE与Rt△AHE中，

，

∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），
∴AH=AC，
∴AH=BC，
∵△EHB的周长为10m，
∴AB=AH+BH=BC+BH=10m；

（2）如图所示，连接AD，
线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE=AF，∠EAF=90°，
∵AC⊥BD，DC=BC，
∴AD=AB，∠ABE=∠ADC=45°，
∴∠BAD=90°=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，

在△ABE和△ADF中，

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴DF=BE，∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠FDC=90°，
∵BG⊥BC，
∴∠CBG=∠CDF=90°，
又∵BC=DC，∠BCG=∠DCF，

在△BCG和△DCF中，

，
∴△BCG≌△DCF（ASA），
∴DF=BG，
∴BG=BE．