Question

如图，抛物线y＝ax²＋b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．

(1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标；

(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；(结果保留根号)

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y＝0，由解析式得到； 　　(2)关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度； 　　(3)本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论． 　　解答：解：(1)∵点A(1，0)和点C(0，1)在抛物线y＝ax2＋b上， 　　∴，解得：a＝－1，b＝1， 　　∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋1， 　　抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A(1，0)关于y轴对称，∴B(－1，0)． 　　[来源：学科网] 　　(2)设过点A(1，0)，C(0，1)的直线解析式为y＝kx＋b，可得： 　　，解得k＝－1，b＝1，∴y＝－x＋1． 　　∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y＝－x＋n， 　　∵点B(－1，0)在直线BD上，∴0＝1＋n，得n＝－1， 　　∴直线BD的解析式为：y＝－x－1． 　　将y＝－x－1代入抛物线的解析式，得：－x－1＝－x2＋1，解得：x1＝2，x2＝－1， 　　∵B点横坐标为－1，则D点横坐标为2， 　　D点纵坐标为y＝－2－1＝－3，∴D点坐标为(2，－3)． 　　如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，AN＝1，BN＝3， 　　在Rt△BDN中，BN＝DN＝3，由勾股定理得：BD＝； 　　在Rt△ADN中，DN＝3，AN＝1，由勾股定理得：AD＝； 　　又OA＝OB＝OC＝1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC＝BC＝； 　　∴四边形ABCD的周长为：AC＋BC＋BD＋AD＝＋＋＋＝＋． 　　(3)假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形： 　　(I)若△BPE∽△BDC，如答图②所示， 　　则有，即，∴PE＝3BE． 　　设OE＝m(m＞0)，则E(－m，0)，BE＝1－m，PE＝3BE＝3－3 m， 　　∴点P的坐标为(－m，3－3 m)． 　　∵点P在抛物线y＝－x2＋1上， 　　∴3－3 m＝－(－m)2＋1，解得m＝1或m＝2， 　　当m＝1时，点E与点B重合，故舍去；当m＝2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去． 　　因此，此种情况不存在； 　　(II)若△EBP∽△BDC，如答图③所示， 　　则有，即，∴BE＝3PE． 　　设OE＝m(m＞0)，则E(m，0)，BE＝1＋m，PE＝BE＝(1＋m)＝＋m， 　　∴点P的坐标为(m，＋m)．■ 　　∵点P在抛物线y＝－x2＋1上， 　　∴＋m＝－(m)2＋1，解得m＝－1或m＝，■ 　　∵m＞0，故m＝1舍去，∴m＝，■ 　　点P的纵坐标为：＋m＝＋×＝，■ 　　∴点P的坐标为(，)．■ 　　综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为(，)． 　　点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第(2)问的解题要点是求出点D的坐标，第(3)问的解题要点是分类讨论．

提示：

二次函数综合题．