Question

如图（1），有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A形是边长为m的正方形，B型是长为m、宽为n的长方形，C型是边长为n的正方形．由图（2）中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明（m+n）²=m²+2mn+n²成立．

（1）类似地，由图（3）中六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式是

（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²

．
（2）现有A型纸板2块，B型纸板5块，C型纸板2块，要求紧密且不重叠地拼出一个大长方形，如果纸板最多剩一块，请画出所有可能拼出的大长方形的示意图；类似地，根据所拼出的大长方形的面积关系写出可以说明的等式．

Answer 1

分析：（1）六块纸板拼成的大长方形的宽为（m+n）、长为（2m+n），而它由2块A型、3块B型、1块C型组成，所以可以说明的等式是（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；
（2）A型纸板2块，B型纸板5块，C型纸板2块不重叠地拼出一个大长方形可得到边长为2m+n与m+2n的长方形；若剩一块C型纸板，可得到边长为2m+2n与m+n的长方形．

解答：解：（1）六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；

（2）图（4）中九块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（2m+n）（m+2n）=2m²+5mn+2n²；
若剩一块C型纸板，如图（5）中八块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（2m+2n）（m+n）=2m²+4mn+2n²．
故答案为（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²．

点评：本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．