Question

5．图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AD=CE；
（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF．
①求证：∠CFA=60°；
②求证：CF+BF=AF．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用等边三角形性质得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE得出结论；
（2）①如图2，利用（1）中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论；
②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形，
∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，
（2）①如图2，由（1）得：△ABD≌△CBE，
∴∠BCE=∠DAB，
∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°，
∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°，
∵∠CFA=∠DAB+∠CEB，
∴∠CFA=60°，
②如图3，在AF上取一点G，使FG=CF，连接CG，
∵∠AFC=60°，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠GCF=60°，CG=CF，
∴∠GCB+∠BCE=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACG+∠GCB=60°，
∴∠ACG=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，
∵AF=AG+GF，
∴AF=BF+CF．

点评 本题是三角形的综合题，难度不大，考查了等边三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的各边相等，且各角都是60°，在三角形中常利用外角定理得出角的大小关系，因此要熟练掌握；线段的和的证明常作辅助线帮助解决，辅助线的作法有两种：①在长边上截取短边的长，②延长短边等于长边．