Question

（2011四川泸州，27，10分）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为 (0，)，且 ac=．
（1）若该函数的图象经过点（-1，-1）．
①求使y＜0成立的x的取值范围．
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M₁，N₁，设△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面积分别为s₁，s₂，s₃，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为 (0，)，且 ac=，
又∵函数的图象经过点（－1，－1），
代入二次函数解析式得方程组，解得： a=－，b=0，c=－，y=－x²-－，
①利用函数图象可知使y＜0成立的x的取值范围是：全体实数；
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，
假设与x轴切点为Q，与y轴切点为F，
∴OQ=FO，∴－x==－x²-－，整理得：x ²-2x+1=0，解得：x ₁=x ₂=1，
∴QO=FO=1，∴圆心的坐标为：（1，－1）或（－1，1）；
（2）存在m，使得对任意实数p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立．

解析