Question

如图，△ABC中，AD和BE是△ABC的高，它们相交于H，且AE=BE．
（1）求证：△AHE≌△BCE；
（2）若点D为BC的中点时，求证：AH=2BD．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以得出∠CBE=∠CAD，由AAS就可以得出△AHE≌△BCE；
（2）由△AHE≌△BCE就可以得出AH=BC，再根据D是BC的中点就可以得出结论．

解答：解：（1）证明：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠AEH=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE．
在△AHE和△BCE中，

∠CAD=∠CBE AE=BE ∠AEH=∠BEC

，
∴△AHE≌△BCE（ASA）；

（2）∵△AHE≌△BCE得：
∴AH=BC
∵点D为BC的中点，
∴BC=2BD
∴AH=2BD．

点评：本题考查了垂直的性质的运用，余角的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中点的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．