Question

17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+2过B（-2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=-$\frac{1}{2}$x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC即可解决问题．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=-$\frac{1}{2}$x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=-$\frac{1}{2}$x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=6}\\{4a+2b+2=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x+2．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-x+2=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$．
∴顶点坐标（1，$\frac{3}{2}$），
∵直线BC为y=-x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC=$\frac{1}{2}$$•\frac{3}{2}$•3+$\frac{1}{2}$$•\frac{3}{2}$•1=3．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-x+4-2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1-4（4-2b）=0，
∴b=$\frac{15}{8}$，
当直线y=-$\frac{1}{2}$x+b经过点C时，b=3，
当直线y=-$\frac{1}{2}$x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴$\frac{15}{8}$＜b≤3．

点评 本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．