Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中

∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN，∴①正确；
在△AFB和△△CNA中

∴△AFB≌△CAN，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，∴②正确；
∵∠ADB=∠AMB=90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正确；
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；
即正确的有4个，
故选D．

求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断②；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°，即可判断④，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断③．