Question

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；
（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QP求解；
（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S_△AGN=

4

5

，
再利用S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解．

解答：（1）证明：如图1，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF BE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如图2，根据题意得，
FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=

5k

2

，
∴sin∠BQP=

BP

QB

=

2k

5k 2

=

4

5

．

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴

S△AGN

S△AHM

=(

AN

AM

)2，
∴

S△AGN

1

=(

2

5

)2，
∴S_△AGN=

4

5

，
∴S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-

4

5

=

1

5

，
∴四边形GHMN的面积是

1

5

．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．