Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ACD≌△CEB；②DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
注意：第（2）、（3）小题你选答的是第

 

小题．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE-CD=AD-BE；
（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．

解答：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB，

∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）解：DE=BE-AD．
故答案为（2）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．