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    如图，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP=4
    		3
    ．四边形ABCD是菱形，点A在边精英家教网PQ上，B、C在边QO上（B点在C点的左侧），且∠ABC=60°．设BQ=x．
    （1）试用含x的代数式表示菱形ABCD的边长；
    （2）当点D在线段OP上时，求x的值；
    （3）设菱形ABCD与△OPQ重合部分的面积为y，求y关于x的函数关系式；
    （4）连接PD、OD．对于不同的x值，请你比较线段OD与PD的大小关系，直接写出结论．
    分析：（1）易得，∠Q=30°，∠ABC=60°，由三角形外角定理可得∠QAB=∠Q=30°，进而可得BA=BQ，即可得答案；
    （2）根据题意，可得Rt△DCO中，有∠DCO=60°，CD=x，借助菱形的性质，可得QO=QB+BC+CO，代入数据可得答案；
    （3）过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，当0＜x≤
    24
    5
    时，y=x×
    		3
    2
    x    =
    		3
    2
    x2    ，进而代入数据分析可得答案；
    （4）作OP的中垂线，结合垂直平分线的性质，可得答案．
    解答：精英家教网解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
    ∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；（2分）

    （2）如图①，在Rt△DCO中，
    ∵∠DCO=60°，CD=x，
    ∴CO=
    1
    2
    x    ，
    ∴QO=QB+BC+CO=x+x+
    1
    2
    x
    在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4
    		3
    ，
    ∴QO=12．∴
    5
    2
    x    =12
    x=
    24
    5
    ；（2分）

    （3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
    在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=
    		3
    2
    x
    ∴当0＜x≤
    24
    5
    时，
    y=x×
    		3
    2
    x    =
    		3
    2
    x2    （2分）精英家教网
    如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
    在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
    ∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
    在Rt△DFE中，∠D=60°，
    ∴DF=
    5x
    2
    -12    ，EF=
    		3
    (
    5x
    2
    -12)    ?
    ?当
    24
    5
    ＜x≤6时?，
    精英家教网y=
    		3
    2
    x2-
    		3
    2
    （
    5x
    2
    -12）2=-
    21
    		3
    8
    x2+30
    		3
    x-72
    		3
    ；

    （4）如图③，作OP的中垂线
    当0＜x＜4时，OD＜DP；
    当x=4时，OD=DP；
    当4＜x≤6时，OD＞DP．
    点评：本题考查菱形的性质，注意根据菱形的性质，得到函数的关系，进而分析函数求解．
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    （1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）；
    （2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
    （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
    （4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形．若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值．

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