分析 (1)连接BD,先证明△ABD为等边三角形,得出∠ABD=60°,AB=BD,同理得出∠BDC=60°,证出∠NMD=∠ABM,证明M、D、N、B四点共圆,证出∠ABM=∠DBN,证明△AMB≌△DNB,即可得出结论;
(2)同(1)可证.
解答 (1)证明:连接BD,如图1所示:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,
∵∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠ABD=60°,AB=BD,
同理:∠BDC=60°,
∵∠BMD=60°+∠NMD=∠A+∠ABM,
∴∠NMD=∠ABM,
∵∠BMN=∠BDN=60°,
∴M、D、N、B四点共圆,
∴∠NMD=∠DBN,
∴∠ABM=∠DBN,
在△AMB和△DNB中,$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠DBN}&{\;}\\{∠A=∠BDN}&{\;}\\{AB=DB}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AMB≌△DNB(AAS),
∴BM=BN,
又∵∠BMN=60°,
∴△BMN为等边三角形,
∴BM=MN;
(2)成立;理由如下:如图2所示:
同(1)可证:B、M、N、D四点共圆,△AMB≌△DNB,
∴BM=BN,
∴△BMN是等边三角形,
∴BM=MN.
点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆;本题难度较大;需要通过辅助线证明三角形全等和四点共圆才能得出结论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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