Question

（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax²+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；
（3）分别根据当△ABC₁∽△AOM以及当△C₂BA∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．

解答：解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE=

3

，AE=1，
∴A点坐标为：（-1，

3

），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax²+bx得：

a-b= 3 4a+2b=0

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴抛物线的表达式为：y=

3

3

x²-

2 3

3

x；


（2）过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=

3

3

x²-

2 3

3

x=

3

3

（x²-2x）=

3

3

（x²-2x+1-1）=

3

3

（x-1）²-

3

3

，
∴M点坐标为：（1，-

3

3

），
∴tan∠FOM=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；
当点C在x轴正半轴上时，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2

3

，
当△ABC₁∽△AOM，
∴

AO

AB

=

MO

BC1

，
∵MO=

FO2+FM2

=

2 3

3

，
∴

2

2 3

=

2 3 3

BC1

，
解得：BC₁=2，∴OC₁=4，
∴C₁的坐标为：（4，0）；
当△C₂BA∽△AOM，
∴

BC2

AO

=

AB

MO

，
∴

BC2

2

=

2 3

2 3 3

，
解得：BC₂=6，∴OC₂=8，
∴C₂的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．