Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当$\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．

Answer 1

分析 （1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可．
（2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB²=AD•AE，进而求出AE的值，所以tanE=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{AB}{AE}$．
（3）设AB=4x，BC=3x，由于已知AF的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半径3x的值．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°-∠DBC，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠BDE，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠ABD=∠E，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△AEB；

（2）∵AB：BC=4：3，
∴设AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵BC=CD=3，
∴AD=AC-CD=5-3=2，
由（1）可知：△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{BE}$，
∴AB²=AD•AE，
∴4²=2AE，
∴AE=8，
在Rt△DBE中
tanE=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；

（3）过点F作FM⊥AE于点M，
∵AB：BC=4：3，
∴设AB=4x，BC=3x，
∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，
∴DE=AE-AD=6x，
∵AF平分∠BAC，
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{4x}{8x}$=$\frac{1}{2}$，
∵tanE=$\frac{1}{2}$，
∴cosE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}x$，
∴EF=$\frac{2}{3}$BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}x$，
∴sinE=$\frac{MF}{EF}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MF=$\frac{8}{5}x$，
∵tanE=$\frac{1}{2}$，
∴ME=2MF=$\frac{16}{5}x$，
∴AM=AE-ME=$\frac{24}{5}x$，
∵AF²=AM²+MF²，
∴4=$（\frac{24}{5}x）^{2}$+$（\frac{8}{5}x）^{2}$，
∴x=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴⊙C的半径为：3x=$\frac{3\sqrt{10}}{8}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．