Question

【题目】如图，已知和，其中，，，将绕点顺时针旋转一周，连接并延长与直线相较于点，则的最小值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先利用旋转模型易证△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，从而得出∠BPC=∠BAC=90°，即△BPC为直角三角形，BC为斜边，当∠BCP最小时，BP边长最小，以A为圆心，AD为半径画圆，可知当PC边与圆的下方相切时，∠BCP最小，此时四边形ADPE为矩形，利用勾股定理求出BD，减去PD即为BP的最小值．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE

∴∠CAE=∠BAD

在△ABD与△ACE中，

∵AD=AE，∠BAD=∠CAE，AB=AC

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABD=∠ACE

设AB，PC交于点F，

∵∠BFP=∠AFC

∴∠BPF=∠CAF=90°

∴∠DPE=90°

∴△BPC为直角三角形，BC为斜边，当∠BCP最小时，BP边长最小

如图所示，以A为圆心，AD为半径画圆，当PC边与圆的下方相切与点E时，∠BCP最小

∵∠AEP=90°，∠DAE=90°，∠DPE=90°，

∴四边形ADPE为矩形

∴DP=AE=2，∠ADB=90°

∴在Rt△ABD中，BD=

此时BP的最小值=BD-DP=

故答案为：．