Question

如图，点A（4，0），C（0，4）在平面直角坐标系中，将△AOC关于AC作轴对称得△ABC．动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动至点C停止．连接OP，交AC于点N，则当△AON为等腰三角形时，点P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：分类讨论：AN=ON，AO=ON，AN=OA，根据△AOC关于AC作轴对称得△ABC，可得OABC是正方形，根据正方形的对角线相等且垂直且平分，可得ON=AN的条件，根据ON=AO=4，可得N与C重合，根据相似三角形的对应边成比例，可得CP的长．

解答：解：将等腰直角三角形△AOC关于AC作轴对称得△ABC，得
OABC是正方形，B点坐标是（4，4）．
①当AN=ON时，△AON为等腰三角形，N是正方形对角线的交点，即P与B重合（4，4）；
②当OA=ON时，△AON为等腰三角形，N与C重合，即N点坐标是（0，4）；
③当AN=AO=4时，如图：
，
由勾股定理得AC=

AO2+OC2

=

42+42

=4

2

，
由线段的和差，得CN=AC-AN=4

2

-4，
由CP∥AO，得△CNP∽△ANO，
由△CNP∽△ANO，得

CP

AO

=

CN

AN

，即

CP

4

=

4 2 -4

4

．解得CP=4

2

-4，即P（4

2

-4，4）；
综上所述：当△AON为等腰三角形时，点P的坐标是（4，4），（0，4），（4

2

-4，4），
故答案为：（4，4），（0，4）（4

2

-4，4）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，分类讨论是解题关键，利用了等腰三角形的判定，正方形的性质：对角线相等且垂直平分，相似三角形的判定与性质．