Question

如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D．已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C．
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=4，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，则OD⊥CD；△OBD是等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等证明OD∥AC，从而确定AC与CD的位置关系；
（2）设CD=x，根据相似三角形性质，用含x的式子表示AB、AD．在Rt△ACD中运用勾股定理求解．

解答：解：（1）CD⊥AC．（1分）
连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，（2分）
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，∴∠A=∠ODB，（3分）
∴AC∥OD，
∴∠ACD=∠CDO=90°，
∴CD⊥AC．（4分）

（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，

BC

BD

=

AB

BC

．
∵∠A=∠B，∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，设CD=BD=x，（5分）
则AB=

BC2

BD

=

16

x

，
∴AD=AB-BD=

16

x

-x，（6分）
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²
∴(

16

x

-x)2=16+x2，（7分）
∴x=

4 3

3

，
∴CD=

4 3

3

．（8分）

点评：此题考查切线的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，综合性强，难度较大．