Question

已知方程组

x2-y+a+2=0 x-y+1=0

的两个解为

x=x1 y=y 1

和

x=x2 y=y2

，且x₁，x₂是两个不相等的实数，若x₁²+x₂²-3x₁x₂=8a²-6a-11．
（1）求a的值；
（2）不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数？为什么？

Answer 1

分析：（1）首先将方程（2）代入（1），变成一个关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系进行求解；
（2）根据根与系数的关系知道两根之和大于0，两根之积大于0，可以得到结果．

解答：解：（1）由方程组

x2-y+a+2=0(1) x-y+1=0(2)

可得x²-x+a+1=0，
由题意知：△=1-4（a+1）=-3-4a＞0，
所以a＜-

3

4

．
又x₁+x₂=1，x₁x₂=a+1，
所以x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂=1-5（a+1）=-4-5a=8a²-6a-11，
解得：a=-

7

8

或1．又a＜-

3

4

，
所以a的值为-

7

8

．
（2）能．
∵x₁+x₂=1＞0，x₁x₂=a+1=

1

8

＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，且y₁=x₁+1＞0，y₂=x₂+1＞0，
故存在方程组的两个解都为正数．
即可以不解方程组判断方程组的两个解都是正数．

点评：本题主要考查了根与系数的关系和用公式法解一元二次方程，题目很有新意，要好好理解．