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9.过⊙O外一点A作圆的切线,切点为B,联结OA,交⊙O于点C.
(1)若⊙O的半径为1,AC=2,求AB的长;
(2)若$\frac{AC}{CO}$=n,△ABC的外接圆直径为d,求$\frac{d}{BC}$的值(用含n的式子表示)

分析 (1)在RT△ABO中,利用勾股定理即可解决.
(2)设点H是△ABC的外接圆的圆心,连接HB、HC、HA,OH交BC于点E,先证明△BHE∽△OAB,得$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$,由$\frac{d}{BC}$=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$,即可解决问题.

解答 解:(1)如图,∵AB切⊙O于点B,
∴OB⊥AB,
在Rt△ABO中,OB=1,OA=AC+OC=3,
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$;
(2)设点H是△ABC的外接圆的圆心,连接HB、HC、HA,OH交BC于点E,
∵OB=OC,HB=HC,
∴OH垂直平分BC,
∴BE=EC,HE⊥BC,
∴∠BHE=∠CHE,
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BHC=∠BHE,
∵∠BEH=∠ABO=90°,
∴△BHE∽△OAB,
∴$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$,
∵AC=nOC,
∴$\frac{BH}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{OC+nOC}{Oc}$=n+1,
∴$\frac{d}{BC}$=$\frac{BH}{BE}$=n+1.

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,属于中考常考题型.

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