Question

如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直 线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

解：（1）， 其证明如下： ∵CE是∠ACB的平分线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴； （2）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线； （3）当点O运动到AC中点时，，则四边形为平行四边形，要使为正方形，必须使， ∵， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴当点O为AC中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形。