Question

如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，∠B=90°，OA=6，AB=4，BC=3，以O为原点，以OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，动点P从原点O出发，沿O?C?B?A的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q也从原点出发，在线段OA上以每秒1个单位长的速度向点A运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标和线段OC的长；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P在线段CB上运动时，是否存在以C、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求线段OC的长和点C的坐标，只要从C作CD⊥OA交OA于D，利用正方形的性质就可读出点C的坐标及求出CD，OD长，然后利用勾股定理求OC的长．
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；就要利用三角形的面积公式计算．要计算三角形的面积就又要利用速度公式计算出三角形的底和高，然后利用面积公式计算．注意计算面积时，要根据点P的位置，分情况而计算．
（3）不存在，因为当点P运动在CB上时，CQ≥4，PQ≥4，CP≤3，要证明可先设一假设，证明假设不成立．

解答：解：（1）过C作CD⊥OA交OA于D，
∵CD=AB=4，AD=BC=3，
∴OD=OA-AD=3，（2分）
∴点C的坐标为（3，4）（1分），
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=5．（1分）

（2）①当点P在OC上，即0≤t≤

5

2

时，
过P作PH⊥OA于点H，则PH∥CD，
∴△OPH∽△OCD，
∴

PH

CD

=

OP

OC

，即

PH

4

=

2t

5

，
∴PH=

8t

5

，
∴S=

1

2

OQ•PH=

1

2

•t•

8t

5

=

4

5

t2（2分）；
②当点P在CB上，即

5

2

≤t≤4时，
∴S=

1

2

OQ•CD=

1

2

•t×4=2t．（2分）
③当点P在BA上，即4≤t≤6时，
∴S=

1

2

OQ•AP=

1

2

•t•(12-2t)=-t2+6t．（2分）

（3）不存在（1分）
当点P运动在CB上时，CQ≥4，PQ≥4，CP≤3，
假设CB上存在点P使△CPQ为等腰三角形，则CQ=PQ，
过Q作QG⊥BC交BC于G，则CG=PG=DQ，
∴2t-5=2（t-3），
∴-5=-6，不成立，
∴假设不成立，
∴当P点运动在线段CB上时，不存在以C，P，Q，
三点为顶点的三角形是等腰三角形．（3分）

点评：本题综合考查了正方形，梯形和直角坐标系以及二次函数的综合应用．