Question

【题目】解答下列问题：

（1）阅读理解：

如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断.中线的取值范围是______.

（2）问题解决：

如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：.

（3）问题拓展：

如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）2<AD<8；（2）证明见解析；（3）EF=BE+DF，证明见解析.

【解析】

（1）利用SAS可证明△ADC≌△EDB，可得BE=AC=6，根据三角形三边关系即可得答案；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）可得CF=BM，根据垂直平分线性质可得EF=EM，利用三角形三边关系即可得答案；（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得∠NBC=∠D，利用SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，利用角的和差关系可得∠ECN=70°=∠ECF，利用SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．

（1）∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=DE，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=6，

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即10-6<2AD<10+6，

∴2<AD<8，

故答案为：2<AD<8

（2）如图，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，

同（1）得CF=BM，

∵FD=MD，DE⊥DF，

∴EF=EM，

在△BEM中，BE+BM>EM，

∴BE+CF>EF.

（3）EF=BE+DF，证明如下：

如图，延长AB至N，使BN=DF，连接CN，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠NBC=180°，

∴∠D=∠NBC，

在△NBC和△FDC中，，

∴△NBC≌△FDC，

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠ECF=70°，∠BCD=140°，

∴∠FCD+∠ECB=70°，

∴∠NCB+∠ECB=70°，即∠ECN=70°=∠ECF，

在△FCE和△NCE中，，

∴△NCE≌△FCE，

∴EF=EN=BE+BN=BE+DF.