Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OA在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（1，2），直线y＝﹣x+b过点C，与x轴交于点B，与y轴交于点D．

（1）B点的坐标为　 　，D点的坐标为　 　；

（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→C的路线向点C运动，同时动点Q从点B出发，以相同速度沿BO的方向向点O运动，过点Q作QH⊥x轴，交线段BC或线段CO于点H．当点P到达点C时，点P和点Q都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒：

①设△CPH的面积为S，求S关于t的函数关系式；

②是否存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（0，3）；（2）①S＝ ；②存在，t＝1或时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．

【解析】

（1）把点C坐标代入直线求得b的值即得到直线解析式，令y＝0求点B坐标，令x＝0求点D坐标．

（2）①由Rt△AOC中∠OAC＝90°求得OA+AC＝OB＝3，即t的取值范围为0≤t＜3且t≠2．画图发现有两种情况：当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，可证得PH∥x轴，故S＝S△CPH＝PHAP，用t表示PH、AP的值再代入即能用t表示S；当2＜t＜3时，点P在线段AC上，点H在线段OC上，此时以PC为底、点H到CP距离h为高来求S，用t表示CP、h的值再代入即能用t表示S．再把两式统一写成S关于t的分段函数关系式．

②与①类似把点P、Q的位置分两种情况讨论计算；其中P在AC上、H在OC上时，以QH为底求△QPH的面积，需对点P到QH的距离PE的表示再进行一次分类．用t表示△QPH面积后与S相等列得方程，解之求得t的值．

解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点C（1，2）

∴﹣1+b＝2

∴b＝3，即直线为y＝﹣x+3

当y＝0时，﹣x+3＝0，得x＝3；当x＝0时，y＝3

∴B（3，0），D（0，3）

故答案为：（3，0）；（0，3）．

（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2）

∴A（0，2），OA＝2，AC＝1

∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°

∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°

∴0≤t＜3，且t≠2

i）当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，如图1

∴OP＝BQ＝t

∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣t

∵HQ⊥x轴于点Q

∴∠BQH＝90°

∴△BQH是等腰直角三角形

∴HQ＝BQ＝t

∴HQ∥OP且HQ＝OP

∴四边形OPHQ是平行四边形

∴PH∥x轴，PH＝OQ＝3﹣t

∴S＝S△CPH＝PHAP＝（3﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+3

ii）当2＜t＜3时，点P在线段AC上，点H在线段OC上，如图2

∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，xH＝OQ＝3﹣t

∵直线OC解析式为：y＝2x

∴QH＝yH＝2（3﹣t）＝6﹣2t

∴点H到CP的距离h＝2﹣（6﹣2t）＝2t﹣4

∴S＝S△CPH＝CPh＝（3﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+5t﹣6

综上所述，S关于t的函数关系式为S＝

②存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．

i）当0≤t＜2时，如图3

∵S△CPH＝S△QPH，两三角形有公共底边为PH

∴点C和点Q到PH距离相等，即AP＝OP

∴t＝2﹣t

∴t＝1

ii）当2＜t≤2.5时，如图4，延长QH交AC于点E

∴AE＝OQ＝3﹣t，AP＝t﹣2，QH＝6﹣2t

∴PE＝AE﹣AP＝（3﹣t）﹣（t﹣2）＝5﹣2t

∴S△QPH＝QHPE＝（6﹣2t）（5﹣2t）＝2t2﹣11t+15

∵S△CPH＝S△QPH

∴﹣t2+5t﹣6＝2t2﹣11t+15

解得：t1＝3（舍去），t2＝

iii）当2.5＜t＜3时，如图5，延长QH交AC于点E

∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣5

∴S△QPH＝QHPE＝（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15

∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15

解得：t1＝t2＝3（舍去）

综上所述，t＝1或时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．