Question

如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，试求EF的长．

Answer 1

分析：（1）点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质可知EC=ED，即可求证∠ECD=∠EDC；
（2）首先证明△DOC是等边三角形，进而得出∠EOC=30°，又因为EC⊥OA，所以∠ECO=90°，OE=8，根据直角三角形的性质可求得EF=

1

2

OE．

解答：解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED．
∴△EDC为等腰三角形．
∴∠ECD=∠EDC．

（2）∵在Rt△DEO和Rt△CEO中，
∵EO=EO，DE=EC（已证），
∴Rt△DEO≌Rt△CEO（HL），
∴DO=CO，
∵∠AOB=60°，OE是∠AOB的平分线，
∴∠EOC=30°，△DOC是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵EC⊥OA，
∴∠ECO=90°．
∴∠ECF=30°，
∴EC=

1

2

OE=4，
∴EF=

1

2

EC=

1

2

×4=2．

点评：本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．