Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．

（1）观察猜想，如图中ΔPMN是_______（填特殊三角形的名称）

（2）探究证明，如图，ΔADE绕点A按逆时针方向旋转，则ΔPMN的形状是否发生改变？并就如图说明理由．

（3）拓展延伸，若ΔADE绕点A在平面内自由旋转，AD=2，AB=6，请直接写出ΔPMN的周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形；（2）的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由见解析；（3）的周长的最大值为12

【解析】

（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PMCE，PN∥AD，PNBD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；

（2）连接CE、BD，如图2，先根据旋转的性质得到ΔABD≌ΔACE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，然后可得PM=PN，求出∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为8，则PN的最大值为4，然后可确定△PMN的周长的最大值．

（1）等边三角形．理由如下：

如图1，

∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PMCE，PN∥AD，PNBD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．

故答案为：等边三角形；

（2）ΔPMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：

连接BD，CE．由旋转可得∠BAD=∠CAE．

∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°．

又∵AD=AE，∴ΔABD≌ΔACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．

∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是ΔBCE的中位线，∴PM= CE且PM//CE．

同理可证PN=BD且PN//BD，∴PM=PN，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC

∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC-∠ABD）

=∠ACB+∠ABC=120°，∴∠MPN=60°，∴ΔPMN是等边三角形；

（3）∵PNBD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）

∴BD的最大值为2+6=8，∴PN的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．