Question

如图，EF与GH把正方形ABCD分成四个矩形，其中矩形PHCF的面积是矩形AEPG的面积的2倍，求证：HF=BH+DF．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：设BH=a，DF=b，正方形ABCD的边长为1，则CH=1-a，CF=1-b，根据已知得出CH•CF=2BH•DF，即（1-a）（1-b）=2ab，得出1-（a+b）=ab，然后根据勾股定理得出HF²=CH²+CF²，即（1-a）²+（1-b）²=a²+2[1-（a+b）]+b²，进而得出HF²=a²+2ab+b²=（a+b）²，即可证得结论．

解答：证明：设BH=a，DF=b，正方形ABCD的边长为1，则CH=1-a，CF=1-b，
根据题意：CH•CF=2BH•DF，
即（1-a）（1-b）=2ab，
∴1-（a+b）=ab，
在RT△CFH中，HF²=CH²+CF²，
即（1-a）²+（1-b）²=a²+2[1-（a+b）]+b²，
∴HF²=a²+2ab+b²=（a+b）²，
∴HF²=（BH+DF）²
∴HF=BH+DF．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，根据题意得出1-（a+b）=ab是本题的根据．