Question

【题目】如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．

（1）证明：OB=OC.

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变.

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）Q（0，-t）.

【解析】

（1）利用平方和绝对值的非负数性质即可用t表示出a、b，即可得B、C坐标，进而可得答案；（2）如图，延长AF到点P，使PF=AF；连接CP、OP、OF，利用SAS可证明△AEF≌△PCF，可得AE=PC=AB，∠AEF=∠PCF，AE∥PC，由平行线的性质可得∠PCO=∠CDA=180-∠ADO，利用四边形内角和可得∠ABO=180-∠ADO，即可证明∠PCO=∠ABO，利用SAS可证明△PCO≌△ABO，可得OP=OA，∠POC=∠AOB，利用角的和差关系可得∠AOP=∠BOC=90°，即可证明△AOP为等腰直角三角形，可得∠OAF=45°，是定值；（3）过N作NP∥MB，交x轴于P；连接NQ、MQ、BQ、B′Q，由轴对称性质可得BB′=2OB，BC=B′C，可得△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及平行线的性质可得∠B′PN=∠PB′N，即可证明NP=NB′=MB，利用AAS可证明△PTN≌△BTM，可得NT=MT，利用SSS可证明△BQM≌△B′QN，可得∠NB′Q=∠MBQ，利用SAS可证明△BCQ≌△B′CQ，可得△OBQ为等腰直角三角形，可得OQ=OB，即可求出Q点坐标.

（1）∵(a-t)≥0，|b-t|≥0，

∴a-t=0，b-t=0，

解得：a=t，b=t

∴B（t，0）、C（0，t）

∴OB=OC

（2）如图，延长AF到点P，使PF=AF；连接CP、OP、OF，

在△AEF和△PCF中，

∴△AEF≌△PCF，

∴AE=PC=AB，∠AEF=∠PCF

∴AE∥PC，∠PCO=∠CDA=180-∠ADO

四边形ABOD中，∠ABO=360-∠BOD-∠BAD-∠ADO，

∵∠BOD=90°，AD⊥AB，

∴∠ABO=180-∠ADO，

∴∠PCO=∠ABO

在△PCO和△ABO中，

∴△PCO≌△ABO，

∴OP=OA，∠POC=∠AOB

∴∠AOP=∠BOC-∠AOB+∠POC=∠BOC=90°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴∠OAF=45°，是定值，不发生改变.

（3）过N作NP∥MB，交X轴于P；连接NQ、MQ、BQ、B′Q，

由（1）得△BOC是等腰直角三角形

∵B、B′关于y轴对称，

∴BB′=2OB，BC=B′C，

∴△BCB′是等腰直角三角形，∠BB′C=∠B′BC=45°，

∵NP∥MB，

∴∠B′PN=∠B′BC=45°，

∵∠PB′N=∠BB′C=45°，

∴∠B′PN=∠PB′N，

∴NP=NB′=MB

在△PTN和△BTM中，，

∴△PTN≌△BTM，NT=MT，T为MN中点，

∵QT⊥MN，

∴QT为MN垂直平分线，

∴MQ=NQ

∵B、B′关于y轴对称，Q在y轴上，

∴BQ=B′Q

在△BQM≌△B′QN中，，

∴△BQM≌△B′QN（SSS），

∴∠NB′Q=∠MBQ，

在△BCQ和△B′CQ中，

∴△BCQ≌△B′CQ，

∴∠MBQ=∠CB′Q=∠NB′Q，

∵∠CB′Q+∠NB′Q=180°，

∴∠NB′Q=∠MBQ=90°，

∴∠OBQ=45°，

∴△OBQ为等腰直角三角形，

∴OQ=OB=t

∴Q(0，-t).