Question

如图所示，半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。
（1）求证：PA·PB= PC·PD；
（2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的长。

Answer 1

解：（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt △APD∽△CPB，
∴
∴PA · PB = PC ·PD；
（2）∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，
∴FP=FC
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，用垂径定理：
∴
又易证四边形，MONP是矩形，
∴。