Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O处，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度反（0°＜a＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图1所示）．那么，在上述旋转过程中：
（1）如图1，线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？请说明你发现的结论的理由．
（2）如图2，连接HK，
①若AK=12，BH=5，求△OKH的面积；
②若AC=BC=4，设BH=x，当△CKH的面积为2时，求x的值，并说出此时四边形CHOK是什么特殊四边形．

Answer 1

解：（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．
理由如下：连接OC，
∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB，
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB．
又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=a，
∴△COK≌△BOH（ASA）．
∴BH=CK，S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=S_△ABC

（2）①由（1）知，BH=CK=5，AK=CH=12，
在Rt△CKH中，∠C=90°，KH==13（KH＞0），
∴S_△OKH=OK•OH=KH²=．

②由（1）知，CK=BH=x，
∵BC=4，
∴CH=4-x．
∵根据题意，得S_△CKH=CH．CK=2，（4-x）x=2，
即x²-4x+4=0，
解得x=2（0＜x＜4）．
即CK=CH=BH=2，
∵AC=BC=4，∠A=∠B=45°，
∴CH=BH=2，
∵O为AB中点，
∴OH∥AC，
∴∠OHB=∠C=90°，
∵∠B=45°=∠HOB，
∴OH=BH=2，
同理CK=AK=OK=2，
即CK=OK=KH=CH=2，∠C=90°，
∴四边形CHOK是正方形，
即当△CKH的面积为2时，x的取值是2，此时四边形CHOK是正方形．
分析：（1）本题关键是要证△OCK≌△OBH，连接CO，因为△ACB是等腰直角三角形，故CO⊥AB，得CO=OB，∠B=∠OCK，及旋转角相等，得出△OCK≌△OBH，故BH=CK，四边形CHOK的面积等于三角形ACB面积的一半．
（2）①由△OCK≌△OBH，得出OK=OH，所以△OKH是等腰直角三角形，所以△OKH的面积=，求得KH就可求得面积．
②由AC=BC=4，BH=x，可得，CH=4-x，由面积公式可得关于x的方程x²-4x+4=0，解得x=2，又∠KOH=90°，所以四边形CHOK是正方形．
点评：本题考查等腰直角三角形的性质及相关计算，要知道如何判定三角形全等，同学们在解题时，一定要认真观察图象．