Question

8．将一矩形纸片按图1-图4方式折叠：
第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3中所示的AD处；
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE．
我们称宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为0.618）的矩形为黄金矩形．
（1）若MN=4cm
①图3中AB=2$\sqrt{5}$cm；
②图4中的黄金矩形为BCDE；
（2）设AB=a，AQ+BD=b，AQ•BD=c，请用一个等式表示a、b、c之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由折叠有BF=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$MN=2，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算即可；
（2）设正方形BCNM的边长为2a，利用对折的性质得AC=a，再在△ABC中根据勾股定理计算出AB=$\sqrt{5}$a，然后根据黄金矩形的定义进行判断．接着利用对折得AD=AB，所以CD=AD-AC即可；
（3）先判定四边形ADBQ是菱形，再用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）由折叠有BF=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$MN=2，
在Rt△ABF中，AF=MN=4，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案为2$\sqrt{5}$；
（2）设正方形BCNM的边长为2a，
∵正方形BCNM沿AF对折，
∴AC=$\frac{1}{2}$NC=a，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵AD=AB=$\sqrt{5}$a，
∴CD=AD-AC=（$\sqrt{5}$-1）a，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴矩形BCDE就是黄金矩形，
故答案为BCDE．
（3）连接BD交AQ于点O，由折叠有∠BAQ=∠DAQ，AB=AD，
∴AQ⊥BD，BO=DO，
∵BQ∥AD，
∴∠DAQ=∠AQB，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵AQ⊥BD，
∴OA=OQ，
∴四边形ADQB是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ADBQ是菱形，
∴AB=BQ=a，
根据勾股定理得，AB²=BF²+AF²，
∴a²=BF²+（2BF）²，
∴BF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∴FQ=BF+BQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a+a=（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$）a，AF=2BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
根据勾股定理得，AQ²=FQ²+AF²=[（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$）a]²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a）²=2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²，
∵AQ×BD=c，
∴BD=$\frac{c}{AQ}$，
∵AQ+BD=b，
∴AQ+$\frac{c}{AQ}$=b，
∴AQ²+$\frac{{c}^{2}}{A{Q}^{2}}$=b，
∴（AQ²）²+c²=bAQ²，
∴[2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²]²+c²=b×2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²
∴[2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²-$\frac{b}{2}$]²=$\frac{{b}^{2}}{4}$-c²．

点评 此题几何变换综合题，主要考查了黄金分割，折叠的性质，勾股定理，解本题的关键是判定四边形ADBQ是菱形，找a，b，c的关系是本题的难点．