Question

如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC于E，△ADF是△ABE绕着点A按逆时针方向旋转90°得到的．
（1）F、D、C三点共线吗？说出理由；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）若AE=8cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）F、D、C三点共线．首先根据旋转的性质可以得到ADF≌△ABE，然后利用全等三角形的性质得到∠B=∠ADF，接着利用四边形的内角和可以得到∠ADF+∠ADC=180°，从而得到F、D、C三点共；
（2）四边形AECF是正方形，利用△ABE≌△ADF，AE⊥BC可以证明∠C=∠AEB=∠AEC=∠F=90°，而AE=AF，由此即可解决问题；
（3）利用（1）（2）的结论和正方形的面积公式即可求解．
解答：解：（1）F、D、C三点共线         
∵△ADF由△ABE旋转所得
∴△ADF≌△ABE
∴∠B=∠ADF
∵在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADF+∠ADC=180°
∴F、D、C三点共线；

（2）四边形AECF是正方形，
△ABE≌△ADF，AE⊥BC，
∠C=∠AEB=∠AEC=∠F=90°，
AE=AF，
∴四边形AECF是正方形；

（3）S_{四边形ABCD}=S_{正方形AECF}=AE²=8²=64cm²．
点评：此题分别考查了正方形的性质、判定和旋转的性质，同时也考查了全等三角形的性质，解答本题要充分利用旋转的性质．也要注意在正方形中的等积变化．