Question

【题目】问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC=120°，⊙O的半径是3.求弧AC的长.

问题2如图②点A、B、C、D在⊙上，且弧AD=弧BC，E是AB的延长线上的.

(1)设BD=nBF，则n=________;

(2)如图③若G是线段BD上的一个点，且.试探究，在⊙上是否存在点P (B除外)使PG=PF?为什么?

Answer 1

【答案】问题1：；问题2：(1)；(1)详见解析

【解析】

问题一：根据弧长的计算公式，根据∠ABC=120°，找到∠AOC的度数，再由弧长公式计算出弧AC的长即可；

问题二：(1)连接AC，易证AC=3BF，然后再证明AC=BD，可得到n的值；

(2) 由（1）可证BG=BF，过点B作AE的垂线，与圆的交点即是点P.

问题一：解：如图，连接OA和OC

∵∠ABC=120°

∴∠AOC=360°-2∠ABC=120°

∴==

问题2：解：(1)如图，连接AC

∵弧AD=弧BC

∴弧BD=弧AC

∴BD=AC

∵

∴，∠BEF=∠AEC

∴△BEF∽△AEC

∴

∴，即3BF=BD

∴n=3

(2) 如图，连接GF,过点B作AE的垂线，与GF交于点H，与圆的交点即是点P

由(1)得△BEF∽△AEC，

∵

∴BF=BG

∴△BGF为等腰三角形

∴∠FBE=∠CAE

∵弧AD=弧BC

∴∠ABD=∠CAB

∴∠DBA=∠FBE

∵∠ABH=∠EBH=90°

∴∠DBH=∠FBH

∴BH为GF的中垂线

∴PG=PF

故存在P.