Question

2．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．
（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．
①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为35°；
②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；
（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=$\frac{n}{n+1}$∠ADC．

Answer 1

分析 （1）①先根据三角形的内角和求∠ACB=70°，由平行线的性质得：∠DAC=70°，利用角平分线得：∠DAE=35°，最后利用平行线的内错角相等得结论；
②设∠CAE=x，∠BAC=y，在△ACD和△ABE中根据三角形内角和表示∠ADC和∠AEC，可得结论；
（2）如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，在△ACE中根据外角的性质得：∠AEC=nx-ny=n（x-y），在△ADC中，根据三角形内角和可得∠ADC的度数，由此可得结论．

解答 解：（1）①如图2，∵∠BAC=40°，
∴∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∵AD∥BC，
∴∠AEC=∠DAE=35°，
故答案为：35°；
②∠ADC=2∠AEC，
理由是：设∠CAE=x，∠BAC=y，则∠EAD=x，∠ABC=$\frac{180-y}{2}$，
∵AB∥CM，
∴∠ACM=∠BAC=y，
∴∠ADC=180-2x-y，
△ABE中，∠AEC=180-x-y-$\frac{180-y}{2}$=90-x-$\frac{y}{2}$，
∴∠ADC=2∠AEC；
（2）∠AEC=$\frac{n}{n+1}$∠ADC，理由是：
如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，
△ACE中，∠AEC=nx-ny=n（x-y），
∴x-y=$\frac{1}{n}∠AEC$，
△ABC中，∠BAC=180-nx-x，
∵AB∥CM，
∴∠ACD=∠BAC=180-nx-x，
△ADC中，∠ADC=180-ny-y-（180-nx-x）=-ny-y+nx+x=n（x-y）+（x-y）=（x-y）（n+1），
∴x-y=$\frac{1}{n+1}$∠ADC，
∴$\frac{1}{n}$∠AEC=$\frac{1}{n+1}$∠ADC，
∴∠AEC=$\frac{n}{n+1}$∠ADC．
故答案为：∠AEC=$\frac{n}{n+1}$∠ADC．

点评 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、外角的性质，设未知数，根据三角形内角和为180°或外角性质列式可解决问题．