Question

10．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，$\frac{CD}{AD}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得$\frac{DK}{EC}$=$\frac{AD}{AC}$，推出$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a+b}$，即a²+ab-b²=0，可得（$\frac{a}{b}$）²+（$\frac{a}{b}$）-1=0，求出$\frac{a}{b}$即可解决问题．

解答 解：作DK∥BC，交AE于K．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，
∵∠ABM+∠CBD=60°，
∴∠BAE=∠CBD，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBD}\\{∠ABE=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD，CE=AD，
∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠HDM=∠EBM，
∴△MBE≌△MDK，
∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，
∵DK∥EC，
∴$\frac{DK}{EC}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a+b}$，
∴a²+ab-b²=0，
∴（$\frac{a}{b}$）²+（$\frac{a}{b}$）-1=0，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选B．

点评 本题科学全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．