Question

20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y轴交于点A．
（1）求直线y=kx+b的表达式；
（2）将直线y=kx+b绕点A沿逆时针方向旋转45°后与抛物线G₁：y=ax²-1（a＞0）交于B，C 两点．若BC≥4，求a的取值范围；
（3）设直线y=kx+b与抛物线G₂：y=x²-1+m交于D，E两点，当3$\sqrt{2}≤DE≤5\sqrt{2}$时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求函数的解析式即可求解，
（2）依题意画出图形，结合二次函数的开口大小规律可求出a的取值范围，
（3）依题意，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y={x}^{2}-1+m}\end{array}\right.$，消去y得x²+x+m-2=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由DE=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
以及x₁+x₂=-1，x₁x₂=m-2，y₁+y₂=3，y₁y₂=m，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b的图象经过（1，0），（-2，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=0\\-2k+b=3.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=1.\end{array}\right.$
∴直线y=kx+b的表达式为：y=-x+1．

（2）如图将直线y=-x+1绕点A沿逆时针方向旋转45°后可得直线y=1，
∴直线y=1与抛物线G₁：y=ax²-1（a＞0）的交点B，C 关于y轴对称
∴当线段BC的长等于4时，B，C两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）．
把点B代入y=ax²-1，1=4a-1，
解得$a=\frac{1}{2}$，
由抛物线二次项系数的性质及已知a＞0可知，当BC≥4时，0＜a$≤\frac{1}{2}$，

（3）依题意，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y={x}^{2}-1+m}\end{array}\right.$，消去y得x²+x+m-2=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
∴DE=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
∵x₁+x₂=-1，x₁x₂=m-2，y₁+y₂=3，y₁y₂=m，
∴DE=$\sqrt{18-8m}$，
当DE=3$\sqrt{2}$时，$\sqrt{18-8m}$=3$\sqrt{2}$，解得m=0，
当DE=5$\sqrt{2}$时，$\sqrt{18-8m}$=5$\sqrt{2}$，解得m=-4，
∴-4≤m≤0．

点评 本题考查二次函数与不等式、待定系数法、一次函数、几何变换等知识，解题的关键是利用参数解决题，灵活运用根与系数关系解决问题，属于中考压轴题．