【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0, ).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点G为抛物线上的一动点,过点G作GE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点G的坐标.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0, ),
∴设抛物线的解析式是y=a(x﹣5)(x+1)1),
则 =a×(﹣5)×1,解得a=﹣ .
则抛物线的解析式是y=﹣ (x﹣5)(x+1)=﹣ x2+2x+
(2)
解:存在.
当点A为直角顶点时,过A作AP⊥AC交抛物线于点P,交y轴于点H,如图.
∵AC⊥AP,OC⊥OA,
∴△OAC∽△OHA,
∴ = ,
∴OA2=OCOH,
∵OA=5,OC= ,
∴OH=10,
∴H(0,﹣10),A(5,0),
∴直线AP的解析式为y=2x﹣10,
联立 ,
∴P的坐标是(﹣5,﹣20).
(3)
解:∵DF⊥x轴,DE⊥y轴,
∴四边形OFDE为矩形,
∴EF=OD,
∴EF长度的最小值为OD长度的最小值,
当OD⊥AC时,OD长度最小,
此时S△AOC= ACOD= OAOC,
∵A(5,0),C(0, ),
∴AC= ,
∴OD= ,
∵DE⊥y轴,OD⊥AC,
∴△ODE∽△OCD,
∴ = ,
∴OD2=OECO,
∵CO= ,OD= ,
∴OE=2,
∴点G的纵坐标为2,
∴y=﹣ x2+2x+ =2,
解得x1=2﹣ ,x2=2+ ,
∴点G的坐标为(2﹣ ,2)或(2+ ,2).
【解析】(1)运用待定系数法就可求出抛物线的解析式;(2)以A为直角顶点,根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系,就可求出点P的坐标;(3)连接OD,易得四边形OFDE是矩形,则OD=EF,根据垂线段最短可得当OD⊥AC时,OD(即EF)最短,然后只需求出点D的纵坐标,就可得到点P的纵坐标,就可求出点P的坐标.
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【题目】如图,点P与点 Q 都在y轴上,且关于x轴对称.
(1)请画出△ABP 关于x轴的对称图形 (其中点 A 的对称点用 表示,点 的对称点用 表示);
(2)点P ,Q 同时都从y轴上的位置出发,分别沿l1,l2方向,以相同的速度向右运动,在运动过程中是否在某个位置使得 成立?若存在,请你在图中画出此时 PQ 的位置(用线段 表示),若不存在,请你说明理由(注:画图时,先用铅笔画好,再用钢笔描黑).
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【题目】如图,正方形ABCD中,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕 点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF、CF.
(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形.
(2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由.
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【题目】节能电动车越来越受到人们的喜欢,新开发的各种品牌电动车相继投入市场.小李车行经营的A型节能电动车2015年销售总额为m万元,2016年每辆A型节能电动车的销售价比2015年降低2000年,若2015年和2016年卖出的节能电动车的数量相同(同一型号的节能电动车每辆的销售价格相同),则2016年的销售总额比2015年减少20%.
(1)2016年A型节能电动车每辆售价多少万元?(用列方程方法解答)
(2)小李车行计划端午节后新购进一批A型节能电动车和新型B型节能电动车,每购进3辆节能电动车,批发商就给车行返回1500元.若新款B型节能电动车的进货数量是A型节能电动车的进货数量的2倍,全部销售获得的利润不少于18万元,且2016年A,B两种型号节能电动车的进货和销售价格如表,那么2016年新款B型节能电动车至少要购进多少辆?
A型节能电动车 | B型节能电动车 | |
进货价格(万元/辆) | 0.55 | 0.7 |
销售价格(万元/辆) | 2016年的销售价格 | 2 |
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【题目】如图, 在平面直角坐标系xOy中,三角形ABC三个顶点的坐标分别为(-2,-2),(3,1),(0,2),若把三角形ABC向上平移 3 个单位长度,再向左平移 个单位长度得到三角形 ,点A,B,C的对应点分别为 ,,.
(1)写出点 ,, 的坐标;
(2)在图中画出平移后的三角形 ;
(3)三角形 的面积为__________.
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【题目】先阅读下列解题过程,然后回答问题:
解方程:
解:①当≥0时,原方程可化为: ,解得;
②当<0时,原方程可化为: ,解得;
所以原方程的解是或
(1)解方程:
(2)探究:当为何值时,方程 ①无解;②只有一个解;③有两个解。
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【题目】如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边的中点,连接DE,OE.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)填空: ①当∠CAB=时,四边形AOED是平行四边形;
②连接OD,在①的条件下探索四边形OBED的形状为 .
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