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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0, ).

(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点G为抛物线上的一动点,过点G作GE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点G的坐标.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0, ),

∴设抛物线的解析式是y=a(x﹣5)(x+1)1),

=a×(﹣5)×1,解得a=﹣

则抛物线的解析式是y=﹣ (x﹣5)(x+1)=﹣ x2+2x+


(2)

解:存在.

当点A为直角顶点时,过A作AP⊥AC交抛物线于点P,交y轴于点H,如图.

∵AC⊥AP,OC⊥OA,

∴△OAC∽△OHA,

=

∴OA2=OCOH,

∵OA=5,OC=

∴OH=10,

∴H(0,﹣10),A(5,0),

∴直线AP的解析式为y=2x﹣10,

联立

∴P的坐标是(﹣5,﹣20).


(3)

解:∵DF⊥x轴,DE⊥y轴,

∴四边形OFDE为矩形,

∴EF=OD,

∴EF长度的最小值为OD长度的最小值,

当OD⊥AC时,OD长度最小,

此时SAOC= ACOD= OAOC,

∵A(5,0),C(0, ),

∴AC=

∴OD=

∵DE⊥y轴,OD⊥AC,

∴△ODE∽△OCD,

=

∴OD2=OECO,

∵CO= ,OD=

∴OE=2,

∴点G的纵坐标为2,

∴y=﹣ x2+2x+ =2,

解得x1=2﹣ ,x2=2+

∴点G的坐标为(2﹣ ,2)或(2+ ,2).


【解析】(1)运用待定系数法就可求出抛物线的解析式;(2)以A为直角顶点,根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系,就可求出点P的坐标;(3)连接OD,易得四边形OFDE是矩形,则OD=EF,根据垂线段最短可得当OD⊥AC时,OD(即EF)最短,然后只需求出点D的纵坐标,就可得到点P的纵坐标,就可求出点P的坐标.

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A型节能电动车

B型节能电动车

进货价格(万元/辆)

0.55

0.7

销售价格(万元/辆)

2016年的销售价格

2

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