Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t=______秒时，△PEC与△QFC全等．

Answer 1

【答案】1或或12．

【解析】

根据题意进行分类讨论，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，求出即可．

①如图1，P在AC上，Q在BC上，

∵PE⊥l，QF⊥l，

∴∠PEC=∠QFC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，

∴∠EPC=∠QCF，

则△PCE≌△CQF，

∴PC=CQ，

即6-t=8-3t，

t=1；

②如图2，P在BC上，Q在AC上，

∵由①知：PC=CQ，

∴t-6=3t-8，

t=1；

t-6＜0，即此种情况不符合题意；

③当P、Q都在AC上时，如图3，

CP=6-t=3t-8，

t=；

④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，t-6=6时，解得t=12．

∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm，

P和Q都在BC上的情况不存在.

故答案为：1或或12．