Question

9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD，下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③△ABE∽△ECF；④△ADF∽△ECF．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据已知条件得到BE=$\frac{1}{2}$AB，由三角函数的定义得到tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，于是得到∠BAE≠30°；故①错误；根据已知条件得到$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，且∠B=∠C，得到△ABE∽△ECF，③正确；根据余角的性质得到∠AEF=90°，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{EC}$=2，推出△ABE∽△AEF，②正确；由于$\frac{DA}{CE}$=2，$\frac{DF}{CF}$=3，得到$\frac{AD}{CE}$≠$\frac{DF}{CF}$，于是得到△ADF和△ECF不相似，④错误．

解答 解：在正方形ABCD中，
∵AB=BC，
∵E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAE≠30°；故①错误；
∵E为BC中点，CF：CD=1：4，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，且∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴③正确；
∴∠BAE=∠FEC，且∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AFB+∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∵△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{EC}$=2，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{BE}{EF}$，且∠ABE=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴②正确；
∵$\frac{DA}{CE}$=2，$\frac{DF}{CF}$=3，
∴$\frac{AD}{CE}$≠$\frac{DF}{CF}$，
∴△ADF和△ECF不相似，
∴④错误，
综上可知正确的为：②③，
故选B．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意正方形性质的运用．