Question

2．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点，P是优弧$\widehat{ABC}$的中点．
（1）如图1，求证：OP∥BC；
（2）如图2，若tanA=$\frac{1}{2}$，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；
（2）连接AC、PO，延长PO交AC于D，由（1）可知PD⊥AC，PD∥BC，根据平行线的性质得出∠ABC=∠AOD，根据等腰三角形的性质得出∠P=∠PAB，于已知得出$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，设AD=a，OA=OP=r，则PD=2a，OD=2a-r，应用勾股定理得出r=$\frac{5}{4}$a，求得OD=2a-$\frac{5}{4}$a=$\frac{3}{4}$a，解直角三角形即可求得tan∠ABC=$\frac{4}{3}$．

解答 （1）证明：连接AC，延长PO交AC于H，如图1，
∵P是弧AB的中点，
∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC；
（2）连接AC、PO，延长PO交AC于D，如图2，
由（1）可知PD⊥AC，PD∥BC，
∴∠ABC=∠AOD，
∵OA=OP，
∴∠P=∠PAB，
∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠P=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
设AD=a，OA=OP=r，
∴PD=2a，OD=2a-r，
在RT△AOD中，OA²=OD²+AD²，
即r²=（2a-r）²+a²，整理得4r=5a，
∴r=$\frac{5}{4}$a，
∴OD=2a-$\frac{5}{4}$a=$\frac{3}{4}$a，
∴tan∠AOD=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{a}{\frac{3}{4}a}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质、垂径定理和解直角三角形．