Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）

A.2B.4C.D.2

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是经过CD中点并且平行于EC的一条线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．

解：如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2= CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°
∴∠DP2P1=90°
∴∠DP1P2=45°
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2

∴PB的最小值是

故选：D．