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【题目】已知,如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动.设 动点P的运动时间为t秒

(1)当t为何值时,四边形PODB是平行四边形?

(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形?若存在,求t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。

(3) 在线段PB上有一点M,且PM=5,当P运动 秒时,四边形OAMP的周长最小, 并画图标出点M的位置。

【答案】(1)t=2.5;(2)t=4 Q(3,4);t=1 Q(-3,4)(3)t=

【解析】(1)根据平行四边形的性质就可以知道PB=5,可以求出PC=5,从而可以求出t的值;(2)要使ODQP为菱形,可以得出PO=5,由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值;(3)根据题意即可填得t的值.

解: (1)∵四边形PODB是平行四边形,

∴PB=OD=5,

∴PC=5,

∴2t=5,t=2.5;

(2)当Q点在P的右边时

∵四边形ODQP为菱形,

∴OD=OP=PQ=5,

∴在Rt△OPC中,由勾股定理得:

PC=3,

∴2t=3;t=1.5 Q(8,4).

当Q点在P的左边且在BC线段上时,t=4, Q(3,4);

当Q点在P的左边且在BC的延长线上时,t=1,Q(-3,4) .

(3)t=

“点睛”本题考查了平行四边形的判定及性质,菱形的性质,勾股定理的运用,解题时要运用分类讨论的思想.

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