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    （2010•浦东新区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形．
    （1）求点P的坐标；
    （2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；
    （3）如果第（2）小题中求得的二次函数图象与y轴交于点C，过该函数图象上的点C，点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．

    【答案】分析：（1）先求得B点坐标，再分析△ABP满足是直角三角形时P点的情况，可分为AB为直角边和AB为斜边两种情况作答．
    （2）对（1）求得的P点坐标分别讨论是否满足二次函数抛物线，求得二次函数的解析式．
    （3）由点的坐标可证得△PBD∽△APD，则∠BPD与∠BAP满足相等．
    解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．
    设点P的坐标为（x，y），
    由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
    （i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，
    ∴点P坐标是（2，1）；
    （ii）当∠APB=90°时，PA2+PB2=AB2，
    即（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=16①．
    又由，可得y2=，
    代入①解得：（负值不合题意，舍去）．
    当时，．
    ∴点P点坐标是（，）．
    综上所述，点P坐标是（2，1）或（，）．

    （2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    （i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；
    （ii）当点P的坐标为（，）时，代入A、B、P三点的坐标，
    解得：
    ∴所求的二次函数解析式为．

    （3）∠BPD=∠BAP．
    证明如下：
    ∵点C坐标为（0，），
    ∴直线PC的表达式为．
    ∴点D坐标为（，0）．
    ∴PD=2，BD=，AD=．
    ，
    ∴．
    ∵∠PDB=∠ADP，
    ∴△PBD∽△APD．
    ∴∠BPD=∠BAP．
    点评：本题考查了二次函数的综合应用，重点是求解函数的解析式．
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