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    12．如图，在等腰三角形ABC中，两腰上的中线BE、CD相交于点O．求证：OB=OC．

    分析 根据条件证明△BDC≌△CEB即可得出OB=OC；

    解答 解：∵△ABC是等腰三角形，
    ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
    ∵CD、BE分别是腰AB、AC的中线，
    ∴BD=$\frac{1}{2}$AB，CE=$\frac{1}{2}$AC，
    ∴BD=CE，
    在△BDC与△CEB中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$
    ∴△BDC≌△CEB（SAS），
    ∴∠BCD=∠CBE，
    即∠BCO=∠CBO
    ∴OB=OC

    点评 本题考查等腰三角形的性质，涉及三角形中线的性质，全等三角形的性质与判定．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F．
    （1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示．
    Ⅰ）求证：GF=DF；
    Ⅱ）若DF=$\frac{1}{2}$DC，AD=4，求AB的长度．
    （2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，DF=kDC（k＞1）．请用含k的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图，直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），若a、b满足（a-b-8）2+|2a+b-4|=0，C是B点关于y轴的对称点．
    （1）求出C点的坐标；
    （2）如图1，动E点从B点出发，沿BA方向向A点匀速运动，同时，动点F以相同的速度，从C点出发，在AC延长线上沿AC方向运动，EF与BC交点为M，当E运动到A时，两点同时停止运动，在此过程中，EM与FM的大小关系是否不变？请说明理由；
    （3）如图2，在（2）的条件下，过M作MN⊥EF交y轴于点N，N点的位置是否改变？若不改变，请求出N点的坐标，若改变，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．

    （1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
    （2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？成立（填“成立”或“不成立”）
    （3）在（2）的条件下，当∠DBA=22.5°度时，存在AQ=2BD，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．综合与探究
    如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=-x2+2x+3，抛物线W与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A、C两点．
    （1）求点A、B、C、D的坐标．
    （2）将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′．
           ①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
          ②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
    （3）若将抛物线W也向下平移m单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部（不包括△AOC的边界），请直接写出m的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8，半径为$\sqrt{3}$的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤180°）
    （1）当α为60°或120°时，AC和⊙M相切；
    （2）当AC落在AN上时，设点B，C的对应点分别是点D，E．
    ①画出旋转后的Rt△ADE；（草图即可）
    ②Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长为2$\sqrt{2}$；
    ③判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由；
    （3）设点M与AC的距离为x，在旋转过程中，当边AC与⊙M有一个公共点时，直接写出x的取值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE交于点F，CE=BE，且∠BEC+∠BDC=180°
    （1）如图1，当∠BEC=120°时，与AC相等的线段是BF；（请直接写出答案）
    （2）如图2，当∠BEC≠120°时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明，若不成立，请说明理由；
    （3）如图3，点D、E分别在边CA、BA的延长线上时，BD、CE交于点F，若将条件CE=BE改为“CE=kBE”，且BF=m，EF=n，∠BFE=α，其它条件不变，求AE的长（用含k，m，n，α的式子表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，点E在BD上，点F在射线CD上，且AE=EF，∠AEF=90°
    （1）如图①，若∠ABE=∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG=GE；
    （2）在（1）的条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
    （3）如图②，若∠ABE=a，∠AEB=135°，CD=a，求DF的长（用含a，α的式子表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    2．已知∠A=27°20′，则∠A的补角的度数为152°40′．

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