Question

11．已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B、C是在y=x-1上，且点B在线段AM上，若MC=$\sqrt{3}$，AM=4$\sqrt{2}$，求△MBC的面积．

Answer 1

分析 由点A的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出点B的坐标，由AM的长度结合点B在线段AM上可得出点M的坐标，结合题意画出图形，在Rt△MBC中利用勾股定理及两点间的距离公式可求出MB、BC的长度，套用三角形的面积公式即可得出△MBC的面积．

解答 解：∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，
∴b=5，
∴直线AM的解析式为y=-x+5．
联立两直线解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（3，2），
∵点B在线段AM上，AM=4$\sqrt{2}$，
∴点M的坐标为（4，4）．
∵直线y=-x+5与直线y=x-1垂直，
∴∠MBC=90°．
在Rt△MBC中，MC=$\sqrt{3}$，MB=AM-AB=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{（3-0）^{2}+（2-5）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{M{C}^{2}-M{B}^{2}}$=1，
∴S_△MBC=$\frac{1}{2}$MB•BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及三角形的面积，在Rt△MBC中利用勾股定理及两点间的距离公式可求出MB、BC的长度是解题的关键．