Question

如图，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上．在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船不改变方向仍继续向前航行，问：有无触礁的危险？并说明你的理由．

Answer 1

分析：有危险，理由为：过P作PD垂直与AB，交AB延长线于点D，如图所示，由∠PBD为三角形PAB的外角，利用外角的性质得到∠PBD=∠A+∠APB，由∠PBD及∠A的度数求出∠BPA的度数，得到∠BPA=∠A，利用等角对等边得到PB=AB，由2小时走的路程为15海里/时×2，得到PB为30海里，在直角三角形PBD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到PB=2PD，由PB的长求出PD的长，由PD的长与18比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁的危险作出判断．

解答：解：有危险，理由如下：
过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，如图所示：

∵由题意可知：∠A=15°，∠PBD=30°，
∴∠BPA=∠PBD-∠A=15°，即∠BPA=∠A，
∴PB=AB=15×2=30（海里），
在Rt△BPD中，∠PBD=30°，PB=30海里，
∴PD=

1

2

PB=15海里＜18海里，
则轮船不改变方向仍继续向前航行有触礁的危险．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PD的长与18比较大小决定．