Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；
（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积=2×三角形ABD的面积

解答：（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．则∠EMA=∠MEA，∠CNF=∠CFN．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PM=PN，
∵PE=PF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
在△EAM与△FCN中，

∠MEA=∠NFC ME=NF EMA=∠FNC

．
∴△EAM≌△FCN（ASA）．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC；

（2）解：∵PA=PC，EP=PF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∴AE∥CF．
在△PED与△PFB中，

∠PED=∠PFB ∠EPD=∠FPB EP=PF

，
∴△PED≌△PFB（AAS）．
∴DP=PB．
由（1）知PA=PC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵BD=12，AB=15，∠DBA=45°，
∴四边形ABCD的面积为：2×

1

2

BD•AB•sin45°=12×15×

2

2

=90

2

．
答：四边形ABCD的面积是90

2

．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．