【题目】如图,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是______.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
(1)∠DFC+∠FEC=90°;(2)∠B=∠AEF;(3)CF=EF;(4)
【答案】(1)(3)
【解析】
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF,得出角、线段之间关系,得出(1)(3)成立,(2)不成立;再由梯形面积和平行四边形面积关系进而得出(4)不成立.
解:∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
延长EF,交CD延长线于M,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDF,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵∠B=∠ADC>∠M,
∴∠B>∠AEF,(2)不成立;
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴CF=EF,(3)成立;
∴∠FEC=∠FCE,
∵∠DCF+∠FEC=90°,
∴∠DFC+∠FEC=90°,(1)成立;
∵四边形ADCE的面积=(AE+CD)×CE,F是AD的中点,
∴S△EFC=S四边形ADCE,
∵S△BDC=S平行四边形ABCD=CD×CE,
∴S△EFC≠S△BDC,(4)不成立;
故答案为:(1)(3).
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【题目】(3分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论共有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,求DE与BC的数量关系;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,∠PDF=60°连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
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【题目】直线y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点 A(m,3)和点B(6,n),与坐标轴分别交于点C和点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点P是x轴上一动点,当△COD与△ADP相似时,求点P的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B90°,AB4,BC2,以AC为边作△ACE,∠ACE90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.
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【题目】已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,A(0,a)、B(﹣b,0),若b=+4,C点是B点关于y轴的对称点.
(1)判断△ABC的形状并证明;
(2)P点在第一象限,且∠APC=135°,试探究关于PA、PB、PC三条线段的确定数量关系;
(3)E点在BC上,F为线段AE的中点,EF绕E点顺时针旋转60°得到EG,E点从B点沿BC运动到C点,求G点随E点运动的路径长.
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【题目】为引导学生广泛阅读古今文学名著,某校开展了读书活动.学生会随机调查了部分学生平均每周阅读时间的情况,整理并绘制了如下的统计图表:
学生平均每周阅读时间频数分布表
平均每周阅读时间x(时) | 频数 | 频率 |
0≤x<2 | 10 | 0.025 |
2≤x<4 | 60 | 0.150 |
4≤x<6 | a | 0.200 |
6≤x<8 | 110 | b |
8≤x<10 | 100 | 0.250 |
10≤x≤12 | 40 | 0.100 |
合计 | 400 | 1.000 |
请根据以上信息,解答下列问题;
(1)在频数分布表中,a=______,b=______;
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果该校有1600名学生,请你估计该校平均每周阅读时间不少于6小时的学生大约有多少人?
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