Question

【题目】如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是______．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

(1)∠DFC+∠FEC=90°；(2)∠B=∠AEF；(3)CF=EF；(4)

Answer 1

【答案】(1)(3)

【解析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF，得出角、线段之间关系，得出(1)(3)成立，(2)不成立；再由梯形面积和平行四边形面积关系进而得出(4)不成立．

解：∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

延长EF，交CD延长线于M，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

∴△AEF≌△DMF(ASA)，

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵∠B=∠ADC＞∠M，

∴∠B＞∠AEF，(2)不成立；

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴CF=EF，(3)成立；

∴∠FEC=∠FCE，

∵∠DCF+∠FEC=90°，

∴∠DFC+∠FEC=90°，(1)成立；

∵四边形ADCE的面积=(AE+CD)×CE，F是AD的中点，

∴S△EFC=S四边形ADCE，

∵S△BDC=S平行四边形ABCD=CD×CE，

∴S△EFC≠S△BDC，(4)不成立；

故答案为：(1)(3)．