Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），交于点C（0，-3），设该抛物线的顶点坐标为D，连接AC．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使S_△MAC=2S_△BCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）．由与y轴交于点C（0，-3），则代入易得解析式，顶点易知．
（2）根据对称性判断出点P就是直线BC与对称轴的交点，再代入直线BC解析式中，求出点P的坐标；
（3）先求出△BCD的面积，根据条件得出△MAC的面积，再作出平行线和垂直，利用同底等高的三角形面积相等和解方程组即可．

解答 解：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
（2）连接BC，与对称轴交于P点，
∵点A，B关于对称轴对称，
所以直线BC与对称轴的交点就是所求的点，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2），
（3）如图，

∵D（1，-4），P（1，-2），
∴PD=2，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴S_△BCD=S_△BDP+S_△CDP=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×1=3，
∴S_△MAC=2S_△BCD=2×3=6，
过点B作BN⊥AC
在Rt△AOC中，tan∠BAC=$\frac{OC}{OA}$=3，
在Rt△ABN中，tan∠BAC=$\frac{BN}{AN}$=3，
∴BN=3AN，
∵AB=4，
根据勾股定理得，BN²+AN²=16，
∴BN=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=h，
∴点M在过点B平行于AC的直线上或在过点B关于点A的对称点B'且平行于AC的直线上，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直线AC解析式为y=-3x-3，
Ⅰ、当点M在过点B平行于AC的直线上，
∵B（3，0），
∴直线BM解析式为y=-3x+9①，
∵点M在抛物线y=x²-2x-3②上，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=21}\end{array}\right.$，
∴M（3，0）或（-4，21）；
Ⅱ、点M在过点B关于点A的对称点B'且平行于AC的直线上，
∵B'（-5，0），
∴直线B'M的解析式为y=-3x-15③
联立②③得，x²+x+12=0，
此方程无解
∴M（3，0）或（-4，21）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，对称性的特点，三角形面积的计算，解本题的关键是充分利用两直线垂直或平行来求解．