Question

如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；
（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²，
把点A（3，3）代入得3=a×3²，解得a=；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，
所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x²，y=-x+6；

（2）C点坐标为（0，6），
∵DE∥y轴，
∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，
∵∠DOE=∠EDA，
∴∠DOE=∠OCD，
∴△OCD∽△DOE，
∴OC：OD=OD：DE，即OD²=OC•DE，
设E点坐标为（a，a²），则D点坐标为（a，6-a），
OD²=a²+（6-a）²，=2a²-12a+36，OC=6，DE=6-a-a²，
∴2a²-12a+36=6（6-a-a²），解得a₁=0，a₂=，
∵E是抛物线上OA段上一点，
∴0＜a＜3，
∴a=，
∴点E坐标为（，）；

（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：
如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，
则四边形OCMF为平行四边形，
∵OC=OB=6，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴∠HOF=45°，
∴△OHF为等腰直角三角形，
∴HO=HF，
设F点坐标为（m，-m）（m＞0），
把F（m，-m）代入y=x²得-m=m²，解得m₁=0，m₂=-3，
∴m=-3，
∴HO=HF=3，
∴OF=OH=3，
而OC=6，
∴四边形OCMF不为菱形．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；
（2）由于DE∥y轴，根据平行线的性质得∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，而∠DOE=∠EDA，则∠DOE=∠OCD，根据相似三角形的判定方法得到△OCD∽△DOE，所以OC：OD=OD：DE，即OD²=OC•DE，
设E点坐标为（a，a²），则D点坐标为（a，6-a），利用勾股定理计算出OD²=a²+（6-a）²，=2a²-12a+36，而OC=6，DE=6-a-a²，则2a²-12a+36=6（6-a-a²），解得a=，即可确定E点坐标；
（3）过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，易得∠OBC=45°，则∠HOF=45°，于是△OHF为等腰直角三角形，得到HO=HF，
设F点坐标为（m，-m）（m＞0），把F点坐标代入二次函数解析式可求出m=-3，得到HO=HF=3，OF=OH=3，而OC=6，所以判断四边形OCMF不为菱形．
点评：本题考查了二次函数综合题：会待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；掌握等腰直角三角形的性质和菱形的判定方法；在几何计算中常利用三角形相似比和勾股定理．